Dada uma folha rectangular de qualquer tipo de material- mesmo tamanho dos quadrados têm de ser cortada para fora dos cantos da folha rectangular, de modo a fazer uma caixa aberta. O comprimento de cada lado da Praça será a altura da caixa Abrir. O volume da caixa aberta vai variar de acordo com o comprimento do lado do quadrado. Este artigo irá mostrar como encontrar o Altura Ideal de modo a obter o volume máximo, e também porque Calculus é necessária para ajudar a resolver este problema.
Coisas que você precisa
- Papel
- Lápis
- Par de Sissors
- 8 polegadas x 11 polegadas folha de papel
- Tape e uma
- Calculadora
instruções
O material de escolha, para este exemplo, será uma folha retangular padrão de papel que pode ser encontrado em quase qualquer lugar. O comprimento é de 11 polegadas ea largura é de 8 1/2 polegadas. Vamos tomar um par de sissors e cortar 1/2 polegada de largura, de modo que a folha de papel terá duração de 11 polegadas e largura de 8 polegadas (as medições não estão à escala em que o número indicado na imagem) . Clique na imagem para ver a figura.
Vamos ver como o volume das mudanças Caixa Aberta como nós cortar um quadrado de cada canto do papel- os quatro quadrados vai ser do mesmo tamanho. Ou seja, neste Etapa # 2, vamos cortar quatro Squares- cada quadrado com comprimento de 1 polegada. (Por favor, note que um quadrado é uma figura sided quatro, em que os quatro lados são do mesmo comprimento, e cada lado é perpendicular ao outro.) Por favor Clique na imagem para ver a figura.
Agora vamos dobrar o papel para cima, onde os quatro / linhas quebradas pontilhadas são desenhadas, de modo a formar uma caixa aberta. A altura da caixa será de 1 polegada, a largura da caixa será de 6 polegadas, (desde 1 polegada foi tirado de cada canto para compensar a altura), e (8-2) = 6 polegadas, da mesma forma, o comprimento será de 9 polegadas (11-2) = 9 polegadas. A fórmula para calcular o volume de uma caixa é, .... o produto de (a altura) x (o comprimento) x (a largura). Isto é, ... V = (H) (L) (W). Assim, o volume deste Abra a caixa cuja altura = 1 polegada, comprimento = 9 polegadas, e Largura = 6 polegadas é V = (1) (9) (6) = 54 polegadas cúbicas. Clique na imagem para ver a figura.
Nos passos seguintes, vamos cortar quadrados de comprimentos de 2 polegadas e 3 polegadas, então vamos fazer as nossas caixas abertas e encontrar os seus respectivos volumes.
Neste Etapa # 5, que vai cortar um quadrado de cada canto do papel- cada quadrado tendo o comprimento de 2 polegadas. Dobre o papel para cima, onde as quatro linhas pontilhadas / quebrados são drawn- de modo a formar uma caixa aberta. A altura da caixa será de 2 polegadas, a largura da caixa será de 4 polegadas, eo lenghth da caixa será de 7 polegadas (desde 2 polegadas foi tirado de cada canto para compensar a altura.)
A largura é (8-4) = 4 polegadas, eo comprimento é (11-4) = 7 polegadas.
Assim, o volume deste Abra a caixa cuja altura = 2 polegadas, comprimento = 7 polegadas, e Largura = 4 polegadas é V = (2) (7) (4) = 56 polegadas cúbicas. Clique na imagem para ver a figura.
Neste Etapa # 6, vamos cortar um quadrado de cada canto do papel- cada quadrado com comprimento de 3 polegadas. Dobre o papel para cima, onde as quatro linhas pontilhadas / quebrados são drawn- de modo a formar uma caixa aberta. A altura da caixa será de 3 polegadas, a largura da caixa será de 2 polegadas, bem como a duração será de 5 polegadas (desde 3 polegadas foi tirado de cada canto para compensar a altura.) A largura é (8- 6) = 2 polegadas, o comprimento é de (06/11) = 5 polegadas. Assim, o volume deste Abra a caixa cuja altura = 3 polegadas, Comprimento = 5 polegadas, e Largura = 2 polegadas é V = (3) (5) (2) = 30 polegadas cúbicas. Clique na imagem para ver a figura.
A partir dos passos acima, podemos ver que o volume das mudanças Caixa Aberta como a altura muda. Nós agora olhar para a altura Ideal / correto que nos dará o volume máximo. Para fazer isso, Neste Etapa # 7, vamos cortar um quadrado de cada canto, cada quadrado com comprimento x polegadas, onde x tem de ser maior que zero (0) e menos de quatro (4) polegadas, de modo que uma caixa tridimensional pode ser feito. Em seguida, dobre o papel para cima, onde os quatro / linhas quebradas pontilhadas são desenhadas, de modo a formar uma caixa aberta. A altura da caixa será x polegadas, a largura da caixa será (8 - 2x) polegadas eo comprimento será (11 - 2x) polegadas (desde 2, X polegadas foi tirado de cada canto para fazer a altura.)
Assim, o volume deste Abra a caixa cuja altura = X polegadas, largura = (8-2x) polegadas e comprimento = (11-2x) polegadas V é- (x) = (x) (11-2x) (8-2x ) polegadas cúbicas,
onde V (X) é, o volume expressa em termos da variável x. (Leia como `A função de V de x ", e não" O Produto de V multiplicado por x`.). Clique na imagem para ver a figura.
Assim V (x) = (x) (11-2x) (8-2x)
V (x) = (11x - 2x ^ 2) (8 - 2x)
V (x) = 88X - 22x ^ 2 - 16x ^ 2 ^ 3 + 4x
V (x) = (88X - 38x ^ 2 + 4x ^ 3 polegadas cúbicas).
A fim de encontrar o x altura exata que nos dará o volume máximo que temos de usar o cálculo, de modo a minimizar o tempo. Caso contrário, podemos escolher todos os valores para x que estão entre zero (0) e (4), e substituir cada valor para a função V (x) e obter os respectivos valores para o volume. Nós não estamos incluindo (0) e (4) uma vez que estes dois valores não nos dará abrir a caixa. isto é, (0), nos dará a folha plana de papel original, e (4), nos dará uma folha de papel dobrada com altura = 4 polegadas e comprimento = 3 polegadas, e não Largura (isto é Largura = 0 polegadas).Estamos agora a derivada de V (x), V escrita `(x), defini-lo igual a zero (0), e Resolva para x. O valor de x que está entre (0) e (4), vamos substituir na função V (x), e obter o volume máximo. No seguinte Etapa # 10, Encontramos V `(x).
V (x) = 4x ^ 3 - 38x ^ 2 + 88X, [Nota: Se V (x) = ax ^ N, em seguida, V `(x) = Anx ^ (N-1)].
V `(x) = 12x ^ 2 - 76x + 88,
Seja V `(X) = 0, então
0 = 12x ^ 2 - 76x + 88
0 = 4 (3 x ^ 2 - 19x + 22)
0 = 3x ^ 2 - 19x + 22
Pela Fórmula quadrático, x = (-b +/- raiz quadrada (b ^ 2-4ac)) / (2a)
X = (19 + Sq.Rt (97)) / 6 = 4,81 ou x = (19 - Sq.Rt. (97)) / 6 = 1.525
Desde (1.525) está entre (0) e (4), em seguida, x = 1.525 é a altura da caixa aberta que irá receber o volume máximo.O volume da caixa aberta com
Altura = 1,525, Comprimento = (11 - (2) (1,525)) e Largura = (8- (2) (1,525))
é, ... 60.012 polegadas cúbicas V = (1,525) (7,95) (4,95) =.
dicas & avisos
- A fórmula geral para encontrar o volume máximo de uma caixa aberta, que é feita a partir de qualquer material de uma forma retangular, dado o comprimento, L, ea largura, W,
- é encontrar a altura correta, H. A fórmula, para a H correta é, ...
- H = {[L + W] + Sq.Rt [(L + W) ^ 2 - 3LW].} / 6, em que H é maior do que zero (0) e menos do que uma metade da largura, W, se o a largura é inferior ao comprimento, ou de metade do comprimento, L, se o comprimento é inferior à largura.
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