Como calcular combinações e permutações

Ordenações e Factorials

• A função fatorial é frequentemente utilizado no cálculo combinações e permutações. N! significa Nx (N-1) ... x x2x1. Por exemplo, 5! = 5x4x3x2x1 = 120. O número de maneiras para encomendar um conjunto de itens é um fatorial. Tome as três letras a, b e c. Você tem tem três opções para a primeira letra, dois para o segundo e apenas um para o terceiro. Em outras palavras, um total de 3x2x1 = 6 ordenações. Em geral, existem n! maneiras de ordenar n itens.

Permutações com Repetição

• Suponha que você tenha três quartos que você está indo para pintar, e cada um será pintado uma das cinco cores: vermelho (r), verde (G), azul (b), amarelo (Y) ou laranja (o). Você pode escolher cada cor quantas vezes quiser. Você tem cinco cores para escolher para o primeiro quarto, cinco para o segundo e cinco para o terceiro. Isto dá um total de 5x5x5 = 125 possibilidades. Em geral, o número de maneiras de escolher um grupo de itens R numa ordem particular de escolhas N repetíveis é n ^ r.

Permutações sem repetição

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  Agora, suponha que todos os quartos vai ser uma cor diferente. Você pode escolher entre cinco cores para o primeiro quarto, quatro para o segundo e apenas três para o terceiro. Isto dá 5x4x3 = 60, que só acontece de ser 5! / 2 !. Em geral, o número de formas independentes de seleccionar itens R numa ordem particular de escolhas n não podem ser repetidos é n! / (N-R) !.

Combinações sem repetição

• Em seguida, esquecer o que quarto é que a cor. Basta escolher três cores independentes para o esquema de cores. A ordem não importa aqui, então (vermelho, verde, azul) é o mesmo que (vermelho, azul, verde). Para qualquer escolha de três cores existem 3! maneiras que você pode encomendá-los. Então você reduzir o número de permutações de 3! para obter 5 (x3 2!)! / = 10. Em geral, você pode escolher um grupo de itens de r em qualquer ordem a partir de uma selecção de n escolhas não podem ser repetidos em n! / [(n-r)! xr!] maneiras.

Combinações com Repetição

• Finalmente, você precisa criar um esquema de cores em que você pode usar qualquer cor que muitas vezes quiser. Um código de contabilidade inteligente ajuda a esta tarefa de contagem. Use três Xs para representar os quartos. Sua lista de cores é representada por `rgbyo`. Misture o Xs em sua lista cor e associar cada X com a primeira cor para a esquerda dele. Por exemplo, rgXXbyXo significa que o primeiro quarto é verde, o segundo é verde eo terceiro é amarelo. Um X deve ter pelo menos uma cor para a esquerda, de forma que há cinco slots disponíveis para o primeiro X. Como a lista agora inclui um X, há seis slots disponíveis para o segundo X e sete slots disponíveis para o terceiro X. Em tudo, há 5x6x7 = 7! / 4! maneiras de escrever o código. No entanto, a ordem dos quartos é arbitrária, de forma que há realmente apenas 7! / (4! X3!) Arranjos originais. Em geral, você pode escolher itens r em qualquer ordem de escolhas n repetíveis em (n + r-1)! / [(N-1)! Xr!] Maneiras.