Como usar o cálculo para saber a distância total percorrida

Identificar a função de velocidade e o intervalo de tempo durante o qual a distância percorrida por um objecto tem de ser calculada. Se esta função não estiver disponível, você pode ter que extraí-lo a partir de um gráfico ou usar ferramentas de software para determinar a distância percorrida. Para fins de ilustração, assume que a função da velocidade, v (t), é 2t ^ 2 - t - 6 e o ​​intervalo de tempo é a partir de t = 0 a t = 5.

Note-se a função de velocidade muda de direcção ao longo do intervalo de tempo. Se o objecto muda de direcção uma ou mais vezes no intervalo de tempo, então a distância percorrida é a soma das distâncias percorridas em cada sub-intervalo. Em outras palavras, se um objeto se move 5 metros à esquerda e depois de 10 metros à direita, a distância total percorrida é de 15 metros (5 metros + 10 metros). No exemplo, é evidente que v (t) é menor que zero para t = 0 e maior do que zero para t = 5, por conseguinte, muda de direcção, pelo menos uma vez. Embora a distância entre o ponto de partida é de 5 metros, você adiciona cada distância sub-intervalo juntos para encontrar a distância total percorrida.

Determinar onde o objeto muda de direção, resolvendo a função. Use tentativa e erro para encontrar e isolar termos comuns. Se isso não funcionar, você pode precisar usar mais complexo algorithms- isso também é conhecido como factoring ou encontrar os zeros ou raízes de uma função. No exemplo, reescrever v (t) como 2t ^ 2 - 4t + 3t - 6. reagrupar as condições para obter 2t (t - 2) + 3 (t - 2) e, em seguida, (2t + 3) (t - 2) . Defina cada polinomial a zero para resolver a função. Assim, os zeros da função são em t = 2 e t = -3/2. Uma vez que o intervalo de tempo não pode ser negativa, há apenas uma mudança de direcção em t = 2. Consequentemente, o intervalo de tempo t = 0 a 5 tem dois sub-intervalos: t = 0 a 2 e t = 2 a 5. A função está negativo para t entre 0 e 2, e positivo para t = 2 e, acima.

Calcule a integral da função velocidade usando as regras básicas de integração. No exemplo, o integral da 2t ^ 2 - t - 6 é (2/3) T ^ 3 - t ^ 2/2 - 6t + k. O termo constante, "K," não é utilizado no cálculo da distância.

Calcule a distância percorrida em cada sub-intervalo. No exemplo, a distância a partir de t = 0 a 2 é (2/3) (2 ^ 3 - 0) - (1/2) (2 ^ 2 - 0) - 6 (2-0), ou -26 / 3. A distância a partir de t = 2 a 5 é (2/3) (5 ^ 3-2 ^ 3) - (1/2) (5 ^ 2 - 2 ^ 2) - 6 (5-2), ou 99/2 . Recordar que a função de velocidade é negativa a partir de t = 0 a 2 e positiva a partir de t = 2 a 5. Portanto, a distância total percorrida é - (- 26/3) + 99/2 ou 349/6.