Como encontrar raio de convergência

O raio de convergência é um tema em cálculo intermediário.

O raio de convergência pode ser considerado como uma série de valores da variável independente de uma série de potência durante o qual a série se aproxima de um limite finito. Para a variável X independente de uma série de potências convergente que se expande sobre o valor de um, o raio de convergência R é matematicamente escrito como R lt; | X-a | ou um grupo - R lt; X lt; A + R. Você pode escolher entre vários testes diferentes para a convergência, dependendo da natureza (n-dependência) da série em questão, incluindo o teste da razão.

Coisas que você precisa

Lápis

Papel

Anote a série em notação somatório. Para fazer isso, desenhar um símbolo grega sigma de capital e escrever "n = 1" diretamente debaixo dela. Desenhe o símbolo do infinito por cima do sigma. Agora, escrever a equação (x-1) ^ (n) / (3n) directamente para a direita da Sigma. Isto começa o problema por meio da identificação da série de potência, cujo raio de convergência será encontrar.
Escrever a equação para o limite em que n tende ao infinito do valor absoluto de a razão entre a (n + 1) ésimo termo com o termo n da série. Para fazer isso, anote "G = lim" e "n-gt; infinidade" por baixo "lim." Adicione o valor absoluto da razão directamente à direita do "lim." Você agora tem uma segunda linha no seu problema que se parece com isso: L = lim | [(x-1) ^ (n + 1) / (3 (n + 1))] [3n / (x-1) ^ ( n)] | (Como n vai para o infinito). Cancelar seus termos como e fatorar o coeficiente, reduzindo o limite para L = | x-1 | Lim | (n / (n + 1)) | (Como n vai para o infinito).
Determinar o limite. Avaliar três ou quatro valores de n para ver o valor da equação se aproxima. Para n = 10, você tem L = | (x-1) (10/11) |. Para n = 100, você tem L = | (x-1) (100/101) |. Para L = 1000, você tem L = | (x-1) (1000/1001) |. A partir dessas três avaliações, você vê que o do (n / (n + 1) parte da relação se aproxima o valor 1 como n se aproxima do infinito Portanto, o limite é L = |. (X-1) (1) | = | X-1 |.
Anote e resolver a desigualdade teste da razão resultante. A regra do teste da razão é que o limite do valor absoluto da razão de termos adjacentes deve ser inferior a um, ou L lt; 1. Para o caso de o seu exemplo, você tem L = | x-1 | lt; 1. Resolver a desigualdade lhe dá -1 lt; x - 1 lt; 1 ou 0 lt; X lt; 2. Você agora sabe que seu intervalo de convergência é entre 0 e 2, e pode ou não pode incluir os valores 0, 2 ou ambos. No entanto, você tem tanta informação quanto você precisa encontrar o raio de convergência.
Calcula-se a duração do intervalo e dividir por dois. Para o seu exemplo, você tem R = (0 + 2) / 2 = 1.

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