Quando você encontrar todos os zeros de uma função polinomial, você obtém os valores de x que fazem a função f (x) igual a zero. Um zero pode ser um número real ou complexa. Às vezes, encontrar todos os zeros de funções que têm um grau de 3 ou superior pode ser uma tarefa tediosa. Você deve estabelecer um plano para quebrar essas funções polinomiais grau superior em fatores viáveis.
Entender a técnica de encontrar zeros de uma função
- 1
Descubra o número total de raízes de uma função usando o corolário do teorema fundamental da álgebra, que afirma que qualquer polinômio de grau n tem exatamente n total de raízes ou zeros para uma função. Isso não nos diz se esses zeros são todos os números reais.
- 2
Determinar o número máximo de possíveis raízes reais, usando a regra dos sinais de Descartes. Para uma função f (x), contar o número de mudanças de sinal para os termos x. Este é o número máximo, mas pode não ser o número real de possíveis raízes ou zeros reais positivos. Para encontrar todas as possibilidades diminuir esse número por múltiplos de 2 até que o resultado é negativo. É possível determinar as raízes reais negativas, encontrando F (-x) e, em seguida, determinar os zeros na mesma maneira que anteriormente (ver Recursos).
- 3
Aplicar o teorema da raiz racional, que afirma que um polinômio com coeficiente principal A e C termo constante pode ter raízes racionais ou zeros de forma ± p / q onde p é um fator de C e Q é um fator de A. Ele não diz -nos quais são as raízes reais.
- 4
Use divisão sintética para encontrar que uma das possíveis raízes racionais é uma raiz real. Você primeiro escolher uma possível raiz racional ± p / q da lista no Passo 3. Em seguida, use divisão sintética (consulte Recursos). Se uma raiz é complexa, então você precisa encontrar a raiz pelo procedimento na Etapa 5.
- 5
Encontrar as raizes remanescentes de equações quadráticas que não são factorável usando a fórmula quadrática. Para uma equação quadrática em sua forma padrão, machado? + Bx + c = 0, a fórmula é x = [-b ± sqrt (b? -4ac)] / 2-A. Note que você pode usar a equação quadrática também encontrar equações de segundo grau factorável.
- 1
Use a função polinomial f (x) = 3x? -8x? + 5x-2 como um exemplo e usar a técnica descrita na Seção 1 para encontrar os zeros ou raízes. Primeiro, olhe para o grau do polinômio, é de 3 por isso há exatamente 3 zeros ou raízes para esta função. Eles podem ser zeros reais ou complexos.
- 2
Comece pelo lado esquerdo da equação para o exemplo no Passo 1 e usar a regra dos sinais de Descartes para contar o número de mudanças de sinal para o x terms- há 3 mudança de sinal. Subtrair 2 a partir deste número (3-2) para obter 1, de forma que há 3 ou 1 raízes reais positivas ou zeros para esta função. Agora, encontrar as raízes reais negativas por determinar f (-x). Para o exemplo na Etapa 1, F (-x) = 3 (-x?) - 8 (-x?) 5 (-x) -2 = -3x -8x? -5x-2. Aqui não há mudança de sinal para que não haja raízes ou zeros reais negativas.
- 3
Aplicar o teorema da raiz racional para a equação do exemplo 3x? -8x? + 5x-2 e encontrar ± p / q. Primeiro encontre os fatores do termo constante 2, que são 1, 2. Em seguida, encontrar os fatores do coeficiente principal 3, que são 1 e 3. Os possíveis raízes racionais ± p / q é ± 1, ± 2, ± 1/3, e ± 2/3.
- 4
Encontrar uma raiz real do exemplo escolhendo primeiro uma raiz racional da lista no passo 3 e, em seguida, usar o procedimento para a divisão sintética (ver Recursos abaixo). Você começa a 2 é o único raiz racional ou zero e que (x-2) é um fator. Em seguida, os factores polinomiais em (x-2) X (3x? -2x + 1).
- 5
Jogo (x-2) X (3x? -2x + 1) = 0 e resolver (x-2) = 0 para obter x = 2. Em seguida, resolver (3x? -2x + 1) = 0.Use a fórmula quadrática da Seção 1, Passo 5 para encontrar os dois últimos zeros da função porque (3x? -2x + 1) não é factorável. O par complexo [1 + i (v2)] / 3 e [1-i (v2)] / 3 são os dois últimos zeros da função. Os zeros da função polinomial 3x? -8x? + 5x-2 são x = 2, X = [1 + i (V2)] / 3 e x = [1-i (V2)] / 3. Esta é a solução para este problema.
Como fator de um terço polinomial grau
Como encontrar o domínio de funções racionais, sem um gráfico
Como resolver um quadrática com números imaginários
Como encontrar as raízes de uma quadrática
Como usar o cálculo para saber a distância total percorrida
Como calcular uma linha tangente horizontal
Como encontrar zeros de funções lineares