A equação de um plano no espaço tridimensional pode ser escrito em notação algébrica como ax + by + cz = d, em que, pelo menos, uma das constantes de números reais "uma," "b," e "c" não tem de ser igual a zero, e "X", "y" e "z" representam os eixos do plano tridimensional. Se três pontos são dados, é possível determinar o avião usando produto vetorial. Um vector é uma linha no espaço. Um produto cruzado é a multiplicação dos dois vectores.
Conseguir os três pontos no plano. classificá-los "UMA," "B" e "C." Por exemplo, suponha que esses pontos são A = (3, 1, 1) - B = (1, 4, 2) - e C = (1, 3, 4).
Encontrar dois vectores diferentes no plano. No exemplo, escolher vectores AB e AC. Vector AB vai do ponto A para o ponto-B, e vector AC vai do ponto A para o ponto-C. Então subtrair cada coordenada no ponto-A partir de cada coordenada no ponto-B para obter vector AB: (-2, 3, 1). Da mesma forma, é AC vector ponto C menos ponto-A, ou (-2, 2, 3).
Calcula-se o produto cruzado dos dois vectores para obter um novo vector, o que é normal (ou perpendiculares ou ortogonais) para cada um dos dois vectores e também para o avião. O produto cruzado de dois vectores, (a1, a2, a3) e (B1, B2, B3), é dado por N = i (a2b3 - A3b2) + j (a3b1 - a1b3) + K (A1B2 - A2B1). No exemplo, o produto cruzado, N, de AB e AC é i [(3 x 3) - (1 x 2)] + J [(1 x -2) - (-2 x 3)] + K [( -2 x 2) - (3x - 2)], o que simplifica a N = 7i + 4j + 2k. Observe que "Eu," "j" e "k" são usados para representar as coordenadas do vector.
Derivar a equação do plano. A equação do plano é Ni (X - A1) + NJ (y - A2) + NK (z - a3) = 0, em que (A1, A2, A3) é qualquer ponto no plano e (Ni, Nj, Nk ) é o vector normal, N. no exemplo, utilizando-se o ponto C, o qual é (1, 3, 4), a equação do plano 7 é (x - 1) + 4 (y - 3) 2 + (z - 4) = 0, o que simplifica a 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, ou 7x + 4y + 2z = 27.
Verificar a sua resposta. Substituir os pontos originais para ver se eles satisfazem a equação do plano. Para concluir o exemplo, se você substituir qualquer um dos três pontos, você vai ver que a equação do plano é realmente satisfeito.
dicas & avisos
- Consulte Recursos para obter dicas sobre como usar sistemas de três equações simultâneas para encontrar a equação de um plano.
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